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oder, wegen (48), der zweiten Gleichung (47) und (34)
| (50) |
Es ist zu beachten, daß t kein Tensor ist; dagegen gilt
(49) für alle Koordinatensysteme, für welche = 1 ist.
Diese Gleichung drückt den Erhaltungssatz des Impulses und
der Energie für das Gravitationsfeld aus. In der Tat liefert
die Integration dieser Gleichung über ein dreidimensionales
Volumen V
die vier Gleichungen
| (49a) |
wobei 1, 2, 3 der Richtungskosinus der nach innen ge-
richteten Normale eines Flächenelementes der Begrenzung
von der Größe dS (im Sinne der euklidischen Geometrie) be-
deuten. Man erkennt hierin den Ausdruck der Erhaltungs-
sätze in üblicher Fassung. Die Größen t bezeichnen wir als
die ,,Energiekomponenten“ des
Ich will nun die Gleichungen (47) noch in einer dritten
Form angeben, die einer lebendigen Erfassung unseres Gegen-
standes besonders dienlich ist. Durch Multiplikation der
Feldgleichungen (47) mit g ergeben sich diese in der ,,ge-
mischten“ Form. Beachtet man,
oder (nach geänderter Benennung der Summationsindizes) gleich
Das dritte Glied dieses Ausdrucks hebt sich weg gegen das
aus dem zweiten Glied der Feldgleichungen (47) entstehende;
an Stelle des zweiten Gliedes dieses Ausdruckes läßt sich nach
Beziehung (50)
setzen (t = t). Man erhält also an Stelle der Gleichungen
| (51) |