Einstein, Albert. 'Die Grundlagen der allgemeinen Relativitaetstheorie'. Annalen der Physik, 49 7 (1916)

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    <html>
      <body>
        <p class="nopar">
          <pb/>
        </p>
        <p class="indent"/>
        <div class="center">
          <p class="noindent"/>
          <p class="noindent">
            <span class="cmbsy-10x-x-120">§ </span>
            <span class="cmbx-12">16. Allgemeine Fassung der Feldgleichungen der Gravitation.</span>
          </p>
        </div>
        <p class="indent"> Die im vorigen Paragraphen aufgestellten Feldgleichungen
          <br/>
        für materiefreie Räume sind mit der </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916158x.png" alt="D f = 0 " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">der Newtonschen Theorie zu vergleichen. Wir haben die
          <br/>
        Gleichungen aufzusuchen, welche der Poissonschen </p>
        <center class="math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916159x.png" alt="D f = 4 p xr " class="math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">entspricht, wobei
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle"/>
          </span>
        die Dichte der Materie </p>
        <p class="indent"> Die spezielle Relativitätstheorie hat zu dem Ergebnis
          <br/>
        geführt, daß die träge Masse nichts anderes ist als Energie,
          <br/>
        welche ihren vollständigen mathematischen Ausdruck in einem
          <br/>
        symmetrischen Tensor zweiten Ranges, dem Energietensor,
          <br/>
        findet. Wir werden daher auch in der allgemeinen Relativitäts-
          <br/>
        theorie einen Energietensor der Materie
          <span class="cmmi-12">T</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
            </span>
          </sub>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b"/>
            </span>
          </sup>
        einzuführen haben,
          <br/>
        der wie die Energiekomponenten
          <span class="cmmi-12">t</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
            </span>
          </sub>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b"/>
            </span>
          </sup>
        [Gleichungen (49) und (50)]
          <br/>
        des Gravitationsfeldes gemischten Charakter haben wird, aber
          <br/>
        zu einem symmetrischen kovarianten Tensor gehören wird
          <sup>
            <span class="cmr-8">1</span>
          </sup>
        </p>
        <p class="indent"> Wie dieser Energietensor(entsprechend der Dichte
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle"/>
          </span>
        in
          <br/>
        der Poissonschen Gleichung) in die Feldgleichungen der
          <br/>
        Gravitation einzuführen ist, lehrt das Gleichungssystem (51).
          <br/>
        Betrachtet man nämlich ein vollständiges System (z. B. das
          <br/>
        Sonnensystem), so wird die Gesamtmasse des Systems, also
          <br/>
        auch seine gesamte gravitierende Wirkung, von der Gesamt-
          <br/>
        energie des Systems, also von der ponderablen und Gravi-
          <br/>
        tationsenergie zusammen, abhängen. Dies wird sich dadurch
          <br/>
        ausdrücken lassen, daß man in (51) an Stelle der Energie-
          <br/>
          <span class="cmmi-12">t</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sub>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
            </span>
          </sup>
        des Gravitationsfeldes allein die Summen
          <br/>
          <span class="cmmi-12">t</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sub>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
            </span>
          </sup>
        +
          <span class="cmmi-12">T</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sub>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
            </span>
          </sup>
        der Energiekomponenten von Materie und Gravi-
          <br/>
        tationsfeld einführt. Man erhält so statt (51) die Tensor-
          <br/>
        gleichung</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-67r52"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916160x.png" alt=" -@--(gs b Ga ) = - x [(t s + T s)- 1 d s (t + T )] { @ xa m b m m 2 m V~ ---- - g = 1, " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(52)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">wobei
          <span class="cmmi-12">T </span>
        =
          <span class="cmmi-12">T</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sub>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sup>
        gesetzt ist (Lauescher Skalar). Dies sind die
          <br/>
        gesuchten allgemeinen Feldgleichungen der Gravitation in ge-
          <br/>
        </p>
        <p class="indent"> 1)
          <span class="cmmi-12">g</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c"/>
            </span>
          </sub>
          <span class="cmmi-12">T</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
            </span>
          </sub>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b"/>
            </span>
          </sup>
        =
          <span class="cmmi-12">T</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c"/>
            </span>
          </sub>
        und
          <span class="cmmi-12">g</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle"/>
            </span>
          </sup>
          <span class="cmmi-12">T</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
            </span>
          </sub>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b"/>
            </span>
          </sup>
        =
          <span class="cmmi-12">T</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle"/>
            </span>
          </sup>
        sollen symmetrische Tensoren
          <br/>
        </p>
      </body>
    </html>
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