Einstein, Albert. 'Antwort auf eine Abhandlung M. v. Laues: "Ein Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und seine Anwendung auf die Strahlungstheorie"'. Annalen der Physik, 47 (1915)

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    <html>
      <body>
        <p class="indent">
          <pb/>
        </p>
        <p class="indent"/>
        <p class="indent"> In (11) ist der Bruch auf der rechten Seite eine wegen
          <br/>
        der Kleinheit von
          <span class="cmti-10">T/</span>
          <span class="cmmi-10">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/cmmi10-23.png" alt="h" class="10x-x-23"/>
          </span>
          <span class="cmmi-10">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/cmmi10-17.png" alt="n" class="10x-x-17"/>
          </span>
        langsam veränderliche Größe.
          <br/>
        Deshalb kann bezüglich der Größe
          <span class="cmmi-10">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/cmmi10-b.png" alt="a" class="10x-x-b"/>
          </span>
          <sub>
            <span class="cmmi-7">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/cmmi7-1d.png" alt="v" class="7x-x-1d"/>
            </span>
          </sub>
          <sup>
            <span class="cmr-7">2</span>
          </sup>
        über viele aufe nander
          <br/>
        folgende Glieder ohne merkbaren Fehler gemittelt werden,
          <br/>
        und es wird jener Mittelwert
          <span class="overline">
            <span class="cmmi-10">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/cmmi10-b.png" alt="a" class="10x-x-b"/>
            </span>
            <sub>
              <span class="cmmi-7">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/cmmi7-17.png" alt="n" class="7x-x-17"/>
              </span>
            </sub>
            <sup>
              <span class="cmr-7">2</span>
            </sup>
          </span>
        als Konstante aus der Summe
          <br/>
        herausgesetzt werden können, da die Summation überhaupt
          <br/>
        nur über einen engen Spektralbereich zu erstrecken ist. Die
          <br/>
        über den Bruch erstreckte Summe kann dann noch in ein
          <br/>
        Integral verwandelt werden, so daß man </p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-15r12"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/Einst_Antwo_de_191522x.png" alt="------ 1 --2-h- integral -----sin2-x------ Am An = 2 an pT (x - m p)(x - np)d x. " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(12)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="indent"> Das Integral kann ohne merklichen Fehler zwischen
          <span class="cmsy-10">-
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/cmsy10-31.png" alt=" oo " class="10x-x-31"/>
          </span>
          <br/>
        und +
          <span class="cmsy-10">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/cmsy10-31.png" alt=" oo " class="10x-x-31"/>
          </span>
        genommen werden, statt zwischen der durch den
          <br/>
        vorerwähnten Spektralbereich bestimmten </p>
        <p class="indent"> Dieses Integral hat für
          <span class="cmmi-10">m </span>
        =
          <span class="cmmi-10">n </span>
        den Wert
          <span class="cmmi-10">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/cmmi10-19.png" alt="p" class="10x-x-19"/>
          </span>
        , verschwindet
          <br/>
        aber stets
          <sup>
            <span class="cmr-7">1</span>
          </sup>
        ), wenn
          <span class="cmmi-10">m</span>
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/Einst_Antwo_de_191523x.png" alt="/=" class="neq" align="middle"/>
          <span class="cmmi-10">n</span>
        (
          <span class="cmmi-10">m </span>
        und
          <span class="cmmi-10">n </span>
        sind ganze Zahlen). Damit
          <br/>
        ist zunächst das Verschwinden
          <span class="overline">
            <span class="cmmi-10">A</span>
            <sub>
              <span class="cmmi-7">m</span>
            </sub>
            <span class="cmmi-10">A</span>
            <sub>
              <span class="cmmi-7">n</span>
            </sub>
          </span>
        (für
          <span class="cmmi-10">m</span>
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/Einst_Antwo_de_191524x.png" alt="/=" class="neq" align="middle"/>
          <span class="cmmi-10">n</span>
        ) bewiesen;
          <br/>
        der Beweis für das Verschwinden von
          <span class="overline">
            <span class="cmmi-10">B</span>
            <sub>
              <span class="cmmi-7">m</span>
            </sub>
            <span class="cmmi-10">B</span>
            <sub>
              <span class="cmmi-7">n</span>
            </sub>
          </span>
        (für
          <span class="cmmi-10">m</span>
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/Einst_Antwo_de_191525x.png" alt="/=" class="neq" align="middle"/>
          <span class="cmmi-10">n</span>
        ) und
          <br/>
          <span class="overline">
            <span class="cmmi-10">A</span>
            <sub>
              <span class="cmmi-7">m</span>
            </sub>
            <span class="cmmi-10">B</span>
            <sub>
              <span class="cmmi-7">n</span>
            </sub>
          </span>
        ist analog zu führen. Aus dem Verschwinden dieser
          <br/>
        Mittelwerte folgt nach
          <span class="cmsy-10">§</span>
        1 die behauptete statistische Un-
          <br/>
        abhängigkeit der </p>
        <p class="noindent"/>
        <p class="indent"> 1) Das Integral ist nämlich </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/Einst_Antwo_de_191526x.png" alt=" ( ) 1 + integral oo sin2x + integral o o sin2x (m---n)p- x--mp--dx- x---npdx . - oo - oo " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">Jedes der letzteren Integrale ist </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/Einst_Antwo_de_191527x.png" alt=" + integral oo 2 sin-ydy = 0. - oo y " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-10">Bemerkung zur Korrektur</span>
        : Statt bei der Auswertung von (11) über
          <br/>
        viele aufeinanderfolgende Summenglieder zu mitteln, kann man auch un-
          <br/>
        endlich viele, voneinander unabhängige Entwicklungen (8) zugrunde legen
          <br/>
        und über diese mitteln. Nimmt man an (11) jene Mittelwertbildung vor,
          <br/>
        so tritt der dementsprechend verstandene Mittelwert
          <span class="overline">
            <span class="cmmi-10">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/cmmi10-b.png" alt="a" class="10x-x-b"/>
            </span>
            <sub>
              <span class="cmmi-7">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Antwo_de_1915/fulltext/img/cmmi7-17.png" alt="n" class="7x-x-17"/>
              </span>
            </sub>
            <sup>
              <span class="cmr-7">2</span>
            </sup>
          </span>
        vor das Summen-
          <br/>
        zeichen. Das Endresultat bleibt natürlich </p>
        <div class="center">
          <p class="noindent"/>
          <p class="noindent">(Eingegangen 24. Juni 1915.)</p>
        </div>
        <div class="center">
          <p class="noindent"/>
          <p class="noindent">----------</p>
        </div>
      </body>
    </html>
Impressum