Einstein, Albert; Hopf, Ludwig. 'Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und seine Anwendung in der Strahlungstheorie'. Annalen der Physik, 33 (1910)

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    <html>
      <body>
        <p class="nopar">
          <pb/>
        </p>
        <p class="indent"/>
        <p class="noindent">Wir können diesen Ausdruck noch vereinfachen, indem wir
          <br/>
        alle
          <span class="overline">
            <span class="cmmi-12">f</span>
            <sub>
              <span class="cmmi-8">n</span>
            </sub>
            <sup>
              <span class="cmr-8">2</span>
            </sup>
          </span>
        als gleich annehmen. Dies kommt ersichtlich nur
          <br/>
        darauf hinaus, daß wir die einzelnen Funktionen
          <span class="cmmi-12">f</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">n</span>
          </sub>
        mit passen-
          <br/>
        den Konstanten multipliziert denken. (Im speziellen Fall
          <br/>
        unserer sin und cos ist diese vereinfachende Annahme von
          <br/>
        selbst </p>
        <p class="indent"> So erhalten wir schließlich für die Funktion
          <span class="cmmi-12">F </span>
        die Diffe-
          <br/>
        rentialgleichung:</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-13r12"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191051x.png" alt=" sum @ ( --- @ F ) n ---(n) S(n)F + f2----(n) = 0. @ S @ S " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(12)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">Zur Lösung dieser Differentialgleichung führt uns die Be-
          <br/>
        trachtung des über den ganzen Raum erstreckten </p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-14r13"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191052x.png" alt=" integral sum n1 { ( --- )2} -1 n S(n)F + f 2-@ F-- d S(1) ...dS(n1) F 0 @ S(n) { integral n1 { ( ) ( )} sum (n) -2-@-F-- (n) --2@-log-F-- (1) (n1) = n S F + f @ S(n) S + f @ S(n) d S ...dS . 0 " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(13)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">Nun ist aber: </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191053x.png" alt=" integral sum n1 { ( --- @ F ) } n S(n)F + f 2---(n) S(n) dS(1)...d S(n1) 0 @ S integral ( sum n1 sum n1 ) = F nS(n)2 + f2- n S(n)-@-F-- dS(1)...d S(n1), @ S(n) 0 0 " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">oder wenn wir den zweiten Summanden partiell integrieren
          <br/>
        und bedenken, daß im Unendlichen
          <span class="cmmi-12">F </span>
        = 0 sein </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191054x.png" alt=" ( ) integral sum n1 (n)2 --- (1) (n ) = F n S - f 2 .n1 dS ...d S 1 . 0 " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">Dieser Ausdruck verschwindet aber, </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191055x.png" alt=" integral F S(n)2d S(1)...d S(n1) " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">nichts anderes ist, als der im letzten Paragraphen abgeleitete
          <br/>
        Mittelwert
          <span class="overline">
            <span class="cmmi-12">S</span>
            <sup>
              <span class="cmr-8">(</span>
              <span class="cmmi-8">n</span>
              <span class="cmr-8">)2</span>
            </sup>
          </span>
          <span class="cmmi-12">,</span>
        falls nur ein einziges
          <span class="cmmi-12">S </span>
        betrachtet wird; für
          <br/>
        diesen folgt aus Gleichung </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191056x.png" alt="--- --- S2 = f2 . " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"> </p>
      </body>
    </html>
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