Einstein, Albert; Hopf, Ludwig. 'Statistische Untersuchung der Bewegung eines Resonators in einem Strahlungsfeld'. Annalen der Physik, 33 (1910)
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    <html>
      <body>
        <p class="nopar">
          <pb/>
        </p>
        <p class="indent"/>
        <p class="noindent">Bei der Integration über
          <span class="cmmi-12">t </span>
        ergeben sich zwei Summanden mit
          <br/>
        den Faktoren 1
          <span class="cmmi-12">/</span>
          <span class="cmmi-12">n </span>
        +
          <span class="cmmi-12">m</span>
        und 1
          <span class="cmmi-12">/</span>
          <span class="cmmi-12">n </span>
          <span class="cmsy-10x-x-120">- </span>
          <span class="cmmi-12">m</span>
        ; da
          <span class="cmmi-12">n </span>
        und
          <span class="cmmi-12">m </span>
        sehr große
          <br/>
        Zahlen sind, ist der erstere sehr klein, kann also vernach-
          <br/>
        lässigt werden. Man gelangt so zu dem Ausdruck:</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-12r11"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191039x.png" alt=" 3 sum sum J = - -3c--T 4 m nCm Bn sin-gn----1---cos dm n { 32 p4 n3 n - m . sin p(n - m) t-- T " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(11)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">mit der </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191040x.png" alt="dmn = p(n - m) t-+ qm - hn - gn . T " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">
          <span class="cmmi-12">J</span>
          <sup>
            <span class="cmr-8">2</span>
          </sup>
        erscheint dann als vierfache Summe über
          <span class="cmmi-12">n, m </span>
        und zwei
          <br/>
        weitere Variable
          <span class="cmmi-12">n</span>
          <span class="cmsy-10x-x-120">'</span>
        und
          <span class="cmmi-12">m</span>
          <span class="cmsy-10x-x-120">'</span>
        . Bilden wir den Mittelwert
          <span class="overline">
            <span class="cmmi-12">J</span>
            <sup>
              <span class="cmr-8">2</span>
            </sup>
          </span>
        , so
          <br/>
        haben wir darauf zu achten, daß die Winkel
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e"/>
          </span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">mn</span>
          </sub>
        und
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e"/>
          </span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">m</span>
            <span class="cmsy-8">'</span>
            <span class="cmmi-8">n</span>
            <span class="cmsy-8">'</span>
          </sub>
          <br/>
        vollkommen voneinander unabhängig sind, daß also bei der
          <br/>
        Mittelwertbildung nur die Terme in Betracht kommen, bei
          <br/>
        denen diese Unabhängigkeit aufgehoben ist. Ersichtlich ist
          <br/>
        dies nur der Fall, wenn</p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191041x.png" alt="m = m' und n = n', " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">gelangen wir zu dem gesuchten Mittelwert:</p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191042x.png" alt=" ( 3 4)2 sum sum ( )2 J2-= 3-c-T-- m n 1C 2 B 2 sin-gn- ----1---- sin2 p (n- m) -t, 32 p4 2 m n n3 (n - m)2 T " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">da</p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191043x.png" alt=" sum 1 t m--------2 sin2 p (n - m) -- (n - m) T 1 integral oo 1 p2 t = -- ---------sin2(n - m) p t .d m = ---- T (n - m)2 T 0 " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent"/>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191044x.png" alt=" integral oo sum sin2-gn -1- sin-gn- -1- -s--- n n6 = T 5 n6 d n = T 5 2n 5 , 0 0 " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">wird:</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-13r12"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191045x.png" alt="--- ( 3 c3)2 st ----- ----- J2 = ----- -----B2n0T C2n0T T 2 . 32 p3 4n05 " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(12)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">Nun </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191046x.png" alt="--- --------- --- J 2 = (J + D)2 = J 2 + 2J D + D2 , " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">und da die Mittelwerte
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191047x.png" alt="J" class="bar"/>
        und
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191048x.png" alt="D" class="bar"/>
        verschwinden, gibt Aus-
          <br/>
        druck (12) den Wert der Impulsschwankungen
          <span class="overline">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1"/>
            <sup>
              <span class="cmr-8">2</span>
            </sup>
          </span>
        selbst an.
          <br/>
        </p>
      </body>
    </html>
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