Wir lassen nun die beliebige Zeit t verstreichen. Besass
ein System in t = 0 die bestimmten Zustandsvariabeln P₁, ... Q_n,
so besitzt es zur Zeit t = t die bestimmten Zustandsvariabeln
p₁, ... q_n. Die Systeme, deren Zustandsvariabeln t = 0 dem
Gebiete G angehörten, und zwar nur diese, gehören zur Zeit t = t
einem bestimmten Gebiete g an, sodass also die Gleichung

Für jedes derartige System gilt aber der Satz von Liouville,
welcher die Form

Aus den drei letzten Gleichungen

ist also eine Invariante des Systems, welche nach dem
obigen die Form haben (p₁, ... q_n) = ^*(E). Für
alle betrachteten Systeme ist aber ^*(E) nur unendlich wenig
verschieden von ^*(E) = const., und unsere Zustandsgleichung
lautet

wobei A eine von den p und q unabhängige Grösse

Wir betrachten wieder unendlich viele (N) mechanische
Systeme, deren Energie zwischen zwei unendlich wenig ver-
schiedenen Grenzen E und E + E liege. Jedes solche mecha-
nische System sei wieder eine mechanische Verbindung eines
Systems S mit den Zustandsvariabeln p₁, ...q_n und eines
Systems mit den Zustandsvariabeln ₁ ... _n. Der Aus-
druck für die Gesamtenergie beider Systeme soll so beschaffen
sein, dass jene Terme der Energie, welche durch Einwirkung
der Massen eines Teilsystems auf die des anderen Teilsystems

1) Vgl. L. Boltzmann, Gastheorie, II. Teil. § 32 u. § 37.