Einstein, Albert; Hopf, Ludwig. 'Statistische Untersuchung der Bewegung eines Resonators in einem Strahlungsfeld'. Annalen der Physik, 33 (1910)

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Bei der Integration über t ergeben sich zwei Summanden mit
den Faktoren 1/n + m und 1/n - m; da n und m sehr große
Zahlen sind, ist der erstere sehr klein, kann also vernach-
lässigt werden. Man gelangt so zu dem Ausdruck:

3 sum sum J = - -3c--T 4 m nCm Bn sin-gn----1---cos dm n { 32 p4 n3 n - m . sin p(n - m) t-- T
(11)

mit der

dmn = p(n - m) t-+ qm - hn - gn . T

J2 erscheint dann als vierfache Summe über n, m und zwei
weitere Variable n' und m'. Bilden wir den Mittelwert J2, so
haben wir darauf zu achten, daß die Winkel dmn und dm'n'
vollkommen voneinander unabhängig sind, daß also bei der
Mittelwertbildung nur die Terme in Betracht kommen, bei
denen diese Unabhängigkeit aufgehoben ist. Ersichtlich ist
dies nur der Fall, wenn

m = m' und n = n',

gelangen wir zu dem gesuchten Mittelwert:

( 3 4)2 sum sum ( )2 J2-= 3-c-T-- m n 1C 2 B 2 sin-gn- ----1---- sin2 p (n- m) -t, 32 p4 2 m n n3 (n - m)2 T

da

sum 1 t m--------2 sin2 p (n - m) -- (n - m) T 1 integral oo 1 p2 t = -- ---------sin2(n - m) p t .d m = ---- T (n - m)2 T 0

integral oo sum sin2-gn -1- sin-gn- -1- -s--- n n6 = T 5 n6 d n = T 5 2n 5 , 0 0

wird:

--- ( 3 c3)2 st ----- ----- J2 = ----- -----B2n0T C2n0T T 2 . 32 p3 4n05
(12)

Nun

--- --------- --- J 2 = (J + D)2 = J 2 + 2J D + D2 ,

und da die Mittelwerte J und D verschwinden, gibt Aus-
druck (12) den Wert der Impulsschwankungen D2 selbst an.

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