11999LIBER PRIMVS.
fiet, &
c.
Eadem ratione ex E P, &
E T, notis nota fiet P T.
Igitur vt antea, iterum notus erit angu-
lus P R T, altitudinis poli, & c.
lus P R T, altitudinis poli, & c.
PROBLEMA 8. PROPOSITIO 29.
DATO plano vel ad Meridianum, &
Horizontem, vel ad Meri-
dianum tantum, vel ad Horizontem tantum inclinato, quanta ſit poli
altitudo ſupra ipſum, deprehendere.
1110dianum tantum, vel ad Horizontem tantum inclinato, quanta ſit poli
altitudo ſupra ipſum, deprehendere.
SIT planum circuli A B C D, cuius centrum E, &
ad Meridianum, &
ad Horizontem, vel ad
22Altitudo poli
ſupra planum
inclinatum ad
Meridianum,
& Horizontem,
vel ad Meridia-
num tantum,
quomodo inue
miatur. Meridianum tantum inclinatum, & communis ipſius, ac Meridiani ſectio B D. Inuento autem,
ex coroll. propoſitionis præcedentis, arcu Meridiani inter planum inclinatum, & polum mun-
84[Figure 84]
di arcticum, ſumatur illi ęqualis D F.
Inueniatur
quoque per coroll. propoſ. 25. huius lib. minor
diameter Ellipſis, quam perpendiculares ex cir-
cunferentia Meridiani in planum inclinatum de-
miſſæ faciunt, quæ ſit G H, ſecans maiorem B D,
ad angulos rectos, & circa G H, circulus deſcri-
batur, cuius circunferentiam ſecet recta ducta E F,
3320 in I. Deinde per F, agatur minori diametro paral-
lela F K; per I, autem maiori diametro parallela
I K, ſecans priorem in K, puncto, per quod dia-
meter ducatur A C, ad quam ex K, perpendicula-
ris erigatur K L, ſecans circulum A B C D, in L.
Dico arcum C L, æqualem eſſe arcui, qui altitudi-
nem poli ſupra planum A B C D, metitur. Quo-
niam enim arcus D F, ęqualis eſt ar cui Meridiani
inter planum A B C D, & polum mundi, erit &
reliquus F O, reliquo in Meridiano à polo vſque
4430 ad diametrum, quæ ipſam B D, ſecat ad angulos rectos, & à qua perpendiculares cadunt in puncta
G, H, æqualis. Quare per ea, quæ propoſ. 26. huius lib. demonſtrata ſunt, cadet perpendicularis
ex polo in planum A B C D, demiſſa in punctum K, ellipſis diametrorum B D, G H. Sicut enim in
figura illius propoſitionis ſe habent arcus D L, L E, quibus in circulo inclinato ęquales ſunt ar-
cus D K, K A, ita hic ſe habent arcus D F, F O, quibus in Meridiano ad circulum A B C D, incli-
nato reſpondent arcus ęquales à D, vſque ad polum arcticum, & à polo vſque ad diametrum, quę
ipſam B D, ad angulos rectos ſecat. Quare vt ibi demonſtratum eſt, perpendicularem ex K, demiſ-
ſam cadere in punctum Q, vbi ſe interſecant rectæ L Q, M Q, diametris H I, B D, ellipſis æqui
diſtantes, ita quoque hic oſtendetur, perpendicularem ex polo demiſſam cadere in punctum K,
vbi ſe interſecant rectæ F K, I K, diametris G H, B D, ellipſis æquidiſtantes. Sit igitur perpendi-
5540 cularis à polo cadens K M, & polus M; intelligaturq́; circulus maximus A M C, duci per rectas
A E K C, K M, qui neceſſario ad planum A B C D, rectus erit; ac propterea cum per polum mun
6618. vndec. di M, tranſeat, inſtar Meridiani erit ipſius plani inclinati, recta autẽ A C, linea erit meridiana, &
arcus C M, altitudinẽ poli ſupra idem planum metietur. Ducantur quoque rectæ E L, E M, C L,
C M. Quoniam igitur tam quadratum ex E L, quadratis ex E K, K L, quam quadratum ex E M,
7747. primi. quadratis ex E K, K M, æquale eſt; propterea quòd anguli E K L, E KM, recti ſunt, ex conſtru-
ctione, & ex defin. 3. lib. 11. Euclidis: Sunt autem quadrata rectarum E L, E M, æqualium ex cen-
tro ſphæræad eius ſuperficiem ductarum ęqualia; erunt & quadrata ex E K, K L, quadratis ex E K,
K M, ęqualia. Dempto ergo communi quadrato ex E K, æquale erit quadratum ex K L, quadrato
ex K M, & recta K L, rectæ K M, æqualis. Itaque cum latera K L, K C, lateribus K M, K C, ſint
8850 æqualia, angulosq́; æquales cõprehendant, vtpote rectos, æqualis erit baſis C L, baſi C M; ac proin
994. primi. de & arcus C L, æqualis erit arcui C M, qui altitudinẽ poli ſupra planũ A B C D, metitur. Quod
101028. tertij. eſt propoſitum: Atque hoc modo Federicus Cõmandinus ferè propoſitum exequitur, quanquã
de plano ad Horizontem tantum inclinato nihil dicat. Quod idẽ nos ex ſinubus ita abſoluemus.
1111Altitudo poli 22Altitudo poli
ſupra planum
inclinatum ad
Meridianum,
& Horizontem,
vel ad Meridia-
num tantum,
quomodo inue
miatur. Meridianum tantum inclinatum, & communis ipſius, ac Meridiani ſectio B D. Inuento autem,
ex coroll. propoſitionis præcedentis, arcu Meridiani inter planum inclinatum, & polum mun-
quoque per coroll. propoſ. 25. huius lib. minor
diameter Ellipſis, quam perpendiculares ex cir-
cunferentia Meridiani in planum inclinatum de-
miſſæ faciunt, quæ ſit G H, ſecans maiorem B D,
ad angulos rectos, & circa G H, circulus deſcri-
batur, cuius circunferentiam ſecet recta ducta E F,
3320 in I. Deinde per F, agatur minori diametro paral-
lela F K; per I, autem maiori diametro parallela
I K, ſecans priorem in K, puncto, per quod dia-
meter ducatur A C, ad quam ex K, perpendicula-
ris erigatur K L, ſecans circulum A B C D, in L.
Dico arcum C L, æqualem eſſe arcui, qui altitudi-
nem poli ſupra planum A B C D, metitur. Quo-
niam enim arcus D F, ęqualis eſt ar cui Meridiani
inter planum A B C D, & polum mundi, erit &
reliquus F O, reliquo in Meridiano à polo vſque
4430 ad diametrum, quæ ipſam B D, ſecat ad angulos rectos, & à qua perpendiculares cadunt in puncta
G, H, æqualis. Quare per ea, quæ propoſ. 26. huius lib. demonſtrata ſunt, cadet perpendicularis
ex polo in planum A B C D, demiſſa in punctum K, ellipſis diametrorum B D, G H. Sicut enim in
figura illius propoſitionis ſe habent arcus D L, L E, quibus in circulo inclinato ęquales ſunt ar-
cus D K, K A, ita hic ſe habent arcus D F, F O, quibus in Meridiano ad circulum A B C D, incli-
nato reſpondent arcus ęquales à D, vſque ad polum arcticum, & à polo vſque ad diametrum, quę
ipſam B D, ad angulos rectos ſecat. Quare vt ibi demonſtratum eſt, perpendicularem ex K, demiſ-
ſam cadere in punctum Q, vbi ſe interſecant rectæ L Q, M Q, diametris H I, B D, ellipſis æqui
diſtantes, ita quoque hic oſtendetur, perpendicularem ex polo demiſſam cadere in punctum K,
vbi ſe interſecant rectæ F K, I K, diametris G H, B D, ellipſis æquidiſtantes. Sit igitur perpendi-
5540 cularis à polo cadens K M, & polus M; intelligaturq́; circulus maximus A M C, duci per rectas
A E K C, K M, qui neceſſario ad planum A B C D, rectus erit; ac propterea cum per polum mun
6618. vndec. di M, tranſeat, inſtar Meridiani erit ipſius plani inclinati, recta autẽ A C, linea erit meridiana, &
arcus C M, altitudinẽ poli ſupra idem planum metietur. Ducantur quoque rectæ E L, E M, C L,
C M. Quoniam igitur tam quadratum ex E L, quadratis ex E K, K L, quam quadratum ex E M,
7747. primi. quadratis ex E K, K M, æquale eſt; propterea quòd anguli E K L, E KM, recti ſunt, ex conſtru-
ctione, & ex defin. 3. lib. 11. Euclidis: Sunt autem quadrata rectarum E L, E M, æqualium ex cen-
tro ſphæræad eius ſuperficiem ductarum ęqualia; erunt & quadrata ex E K, K L, quadratis ex E K,
K M, ęqualia. Dempto ergo communi quadrato ex E K, æquale erit quadratum ex K L, quadrato
ex K M, & recta K L, rectæ K M, æqualis. Itaque cum latera K L, K C, lateribus K M, K C, ſint
8850 æqualia, angulosq́; æquales cõprehendant, vtpote rectos, æqualis erit baſis C L, baſi C M; ac proin
994. primi. de & arcus C L, æqualis erit arcui C M, qui altitudinẽ poli ſupra planũ A B C D, metitur. Quod
101028. tertij. eſt propoſitum: Atque hoc modo Federicus Cõmandinus ferè propoſitum exequitur, quanquã
de plano ad Horizontem tantum inclinato nihil dicat. Quod idẽ nos ex ſinubus ita abſoluemus.
ſupra planum
inclinatum ad
Meridianum, &
Horizon@ẽ qua
uia per ſinu@ in
quiratur.
SIT Horizon A B C D, Meridianus A C;
planum ad Meridianum &
ad Horizontem inclina
tum E F, ſecans Meridianum in G, vbicunque hoc contingat; Polus mundi H, per quem & polũ
plani inclinati E F, circulus maximus deſcribatur B D, ſecans planum inclinatum in I, atque adeo
per propoſ. 15. lib. 1. Theodoſij, ad angulos rectos; metieturq́; propterea arcus HI, altitudinem
poli ſupra planum E F. Quoniam igitur in triangulo ſphęrico G H I, cuius angulus I, rectus eſt,
vt ſinus arcus Meridiani G H, qui inter planum inclinatum, & polum interijcitur, ad ſinum angu
li recti I, hoc eſt, ad ſinum totum, ita eſt, per propoſ. 16. lib. 4. Ioan. Regiom. de triangulis, vel
tum E F, ſecans Meridianum in G, vbicunque hoc contingat; Polus mundi H, per quem & polũ
plani inclinati E F, circulus maximus deſcribatur B D, ſecans planum inclinatum in I, atque adeo
per propoſ. 15. lib. 1. Theodoſij, ad angulos rectos; metieturq́; propterea arcus HI, altitudinem
poli ſupra planum E F. Quoniam igitur in triangulo ſphęrico G H I, cuius angulus I, rectus eſt,
vt ſinus arcus Meridiani G H, qui inter planum inclinatum, & polum interijcitur, ad ſinum angu
li recti I, hoc eſt, ad ſinum totum, ita eſt, per propoſ. 16. lib. 4. Ioan. Regiom. de triangulis, vel
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib