4529Liber Secundus.
Quod autem ſphæra ſit omnium figurarum, tam planarum, quam ſolidarum perfectiſſima hiſce ratio-
nibus patebit, primo ſicut circulus omnibus planis figuris præcellit, ita quoq; ſphæra ſolidas omnes figuras
antecellit; nam ſicut circulus vnica linea, ſic ſphæra vnica ſuperficie concluditur; ſicut in circulo apparet
maxima partiũ conſormitas, ac ſimilitudo, qua a medio vniformiter diſtant; ita etiam omnes ſphæræ par-
tes ab ipſius medio conſimiliter recedunt, vnde etiã ipſius maxima pulchritudo exoritur: præterea in neu-
tra harum figurarum principium, aut finem eſt aſſignare: Inſuper, vtraque eundem ſemper in ſua reuolu-
tione locum occupat. tandem vtraque eſt omnium figurarum ſibi Iſoperimetrarum maximè capax. ſed ne
longior ſim, vide Proemium Mecha. quæſt. Ari otelis, cum noſtra explicatione in libro locorum Mathe-
maticorum Ariſtotelis, vbi de admirandis circu@s proprietatibus fuſius diſſeritur. porrò ſphæram eſſe cir-
culo præſtantiorem hinc patet; ille enim ſuperficies eſt duabus tantum dimenſionibus longitudine, & la-
titudine prædita; hæc verò eſt corpus tribus dimenſionibus conſtans, latitudine, longitudine, profundita-
te, qua propter omnium figurarum, tum planarum, tum ſolidarum ſphæra obtinet principatum.
nibus patebit, primo ſicut circulus omnibus planis figuris præcellit, ita quoq; ſphæra ſolidas omnes figuras
antecellit; nam ſicut circulus vnica linea, ſic ſphæra vnica ſuperficie concluditur; ſicut in circulo apparet
maxima partiũ conſormitas, ac ſimilitudo, qua a medio vniformiter diſtant; ita etiam omnes ſphæræ par-
tes ab ipſius medio conſimiliter recedunt, vnde etiã ipſius maxima pulchritudo exoritur: præterea in neu-
tra harum figurarum principium, aut finem eſt aſſignare: Inſuper, vtraque eundem ſemper in ſua reuolu-
tione locum occupat. tandem vtraque eſt omnium figurarum ſibi Iſoperimetrarum maximè capax. ſed ne
longior ſim, vide Proemium Mecha. quæſt. Ari otelis, cum noſtra explicatione in libro locorum Mathe-
maticorum Ariſtotelis, vbi de admirandis circu@s proprietatibus fuſius diſſeritur. porrò ſphæram eſſe cir-
culo præſtantiorem hinc patet; ille enim ſuperficies eſt duabus tantum dimenſionibus longitudine, & la-
titudine prædita; hæc verò eſt corpus tribus dimenſionibus conſtans, latitudine, longitudine, profundita-
te, qua propter omnium figurarum, tum planarum, tum ſolidarum ſphæra obtinet principatum.
Vt autem ratio illa deſumpta à capacitate Iſoperimetrarum figurarum probè percipiatur, nonnulla de
Iſoperimetris figuris in medium ſunt proferenda.
Iſoperimetris figuris in medium ſunt proferenda.
Iſoperimetræ igitur figuræ ſunt, quæ habent æquales ambitus, ſeu circum ferentias, ſiue ſint figuræ pla-
næ, ſiue ſolidæ, ideſt, ſuperficies, aut corpora; quod, & eorum nomen pulchrè indicat ισος, enim græcè,
æqualem, ſignificat: @εριμετρος autem ambitum valet. vbi notandum eſt per figuram, cum Geometris, in-
telligendam eſſe aeream, ſeu ſpatium tam planum, quam ſolidum terminatum aliqua peripheria, aut am-
bitu, non autem ipſum ambitum ſolum, vt Geometriæ expertes perperam ſolent exiſtimare. Cum igitur
dicimus duas planas figuras, v. g. triangulum vnum, & quadratum vnum eſſe inuicem Iſoperimetra, in-
telligimus duas ſuperficies, vnam triangularem, alteram quadratam habere æqualem ambitum, qui ambi-
tus erit linea, eas terminans. cum verò dicimus duo corpora eſſe Iſoperimetra, v. g. cubum vnũ vni ſphæ-
ræ eſſe Iſoperimetrum, intelligimus ſpatia eorum ſolida, ſeu eorum ſoliditates habere æquales ambitus,
ideſt, terminari æqualibus ſuperficiebus, corpora enim ſuperficiebus terminantur.
næ, ſiue ſolidæ, ideſt, ſuperficies, aut corpora; quod, & eorum nomen pulchrè indicat ισος, enim græcè,
æqualem, ſignificat: @εριμετρος autem ambitum valet. vbi notandum eſt per figuram, cum Geometris, in-
telligendam eſſe aeream, ſeu ſpatium tam planum, quam ſolidum terminatum aliqua peripheria, aut am-
bitu, non autem ipſum ambitum ſolum, vt Geometriæ expertes perperam ſolent exiſtimare. Cum igitur
dicimus duas planas figuras, v. g. triangulum vnum, & quadratum vnum eſſe inuicem Iſoperimetra, in-
telligimus duas ſuperficies, vnam triangularem, alteram quadratam habere æqualem ambitum, qui ambi-
tus erit linea, eas terminans. cum verò dicimus duo corpora eſſe Iſoperimetra, v. g. cubum vnũ vni ſphæ-
ræ eſſe Iſoperimetrum, intelligimus ſpatia eorum ſolida, ſeu eorum ſoliditates habere æquales ambitus,
ideſt, terminari æqualibus ſuperficiebus, corpora enim ſuperficiebus terminantur.
Aduertendum præterea eſt, duas figuras planam alteram, alteram vero ſolidam, nulla ratione poſſe eſſe
mutuo Iſoperimetras, quia cum earum ambitus ſint diuerſi generis, planorum enim ſunt lineæ ambientes,
ſolidarum verò ſuperficies, nequeunt inter ipſas reperiri vllæ proportiones, vt conſtat ex definitione ter-
tia lib. 5. Elem. Euclidis; quare neq; proportionem æqualitatis inter eas reperire erit, ideſt, linea, & ſuper-
22[Figure 22]
ficies neq;
æquales, neq;
inæqua-
les inuicem eſie poſſunt. his præ-
notatis probandum eſt circulum
inter omnes planas figuras Iſo-
perimetras ſphæram verò inter
ſolidas pariter Iſoperimetras eſ-
ſe capaciſſimam. Exponãtur pri-
mo aliquot planæ figuræ Iſope-
rimetræ, quarum prima ſit trian-
gulum Iſoſceles, vt in figura vi-
des, cuius ſingula latera cõſtent lineolis 5. æqualibus, baſis verò 6. ſic enim eius perimeter, ſeu ambitus con-
tinebit huiuſmodi lineolas 16. quarum modulus ſit linea F. diuiſa in 16. particulas æquales. ſecunda figu-
ra ſit quadratum, cuius ſingula latera contineant quatuor lineolas æquales prædictis, ſic enim erit eius
perimeter 16. Tertia ſic circulus, cuius perimeter, vel peripheria compræhendat etiam 16. ex prædictis
lineolis. Cum igitur omnium perimeter ſit 16. ſecundum æquales menſuras, erunt omnes tres inuicem Iſo-
perimetræ. conſtruximus autem circulum alijs duabus Iſoperimetrũ hac ratione: conſtat enim ex demon-
ſtratis ab Archimede, quod etiam experimento patere poteſt, circumferẽtiam circuli ad ſuam diametrum
habere ferè eandem rationem quam habent 22. ad 7. quare per auream Arithmeticæ regulam, reperio ita
ſe habere 22. ad 7. quemadmodum 16. ambitus ſcilicet quaſi circuli, ad 5. & vnam vndecimam, quare 5. &
vna vndecima ex illis lineolis, erit quæſita diameter. huius diametri dimidium eſt 2. & ſex vndecimę, acce-
ptis igitur pro ſemidiametro 2. & ſex vndecimis ex prædictis lineolis. earum interuallo deſcriptus eſt cir-
culus alijs duabus figuris Iſoperimeter, iam ſingularum areæ menſurandæ ſunt, vt appareat circulum eſſe
earum capaciſſimum, atq; adeo maximum.
mutuo Iſoperimetras, quia cum earum ambitus ſint diuerſi generis, planorum enim ſunt lineæ ambientes,
ſolidarum verò ſuperficies, nequeunt inter ipſas reperiri vllæ proportiones, vt conſtat ex definitione ter-
tia lib. 5. Elem. Euclidis; quare neq; proportionem æqualitatis inter eas reperire erit, ideſt, linea, & ſuper-
les inuicem eſie poſſunt. his præ-
notatis probandum eſt circulum
inter omnes planas figuras Iſo-
perimetras ſphæram verò inter
ſolidas pariter Iſoperimetras eſ-
ſe capaciſſimam. Exponãtur pri-
mo aliquot planæ figuræ Iſope-
rimetræ, quarum prima ſit trian-
gulum Iſoſceles, vt in figura vi-
des, cuius ſingula latera cõſtent lineolis 5. æqualibus, baſis verò 6. ſic enim eius perimeter, ſeu ambitus con-
tinebit huiuſmodi lineolas 16. quarum modulus ſit linea F. diuiſa in 16. particulas æquales. ſecunda figu-
ra ſit quadratum, cuius ſingula latera contineant quatuor lineolas æquales prædictis, ſic enim erit eius
perimeter 16. Tertia ſic circulus, cuius perimeter, vel peripheria compræhendat etiam 16. ex prædictis
lineolis. Cum igitur omnium perimeter ſit 16. ſecundum æquales menſuras, erunt omnes tres inuicem Iſo-
perimetræ. conſtruximus autem circulum alijs duabus Iſoperimetrũ hac ratione: conſtat enim ex demon-
ſtratis ab Archimede, quod etiam experimento patere poteſt, circumferẽtiam circuli ad ſuam diametrum
habere ferè eandem rationem quam habent 22. ad 7. quare per auream Arithmeticæ regulam, reperio ita
ſe habere 22. ad 7. quemadmodum 16. ambitus ſcilicet quaſi circuli, ad 5. & vnam vndecimam, quare 5. &
vna vndecima ex illis lineolis, erit quæſita diameter. huius diametri dimidium eſt 2. & ſex vndecimę, acce-
ptis igitur pro ſemidiametro 2. & ſex vndecimis ex prædictis lineolis. earum interuallo deſcriptus eſt cir-
culus alijs duabus figuris Iſoperimeter, iam ſingularum areæ menſurandæ ſunt, vt appareat circulum eſſe
earum capaciſſimum, atq; adeo maximum.
Quemadmodum autem Geometræ aptè lineas æqualibus lineis metiuntur, ita etiam ſuperficies, ſeu pla-
nas figuras æqualibus planis, videlicet æqualibus quadratis menſurant, quia, vel teſte Ariſtotele, menſura
debet eſſe eiuſdem generis cũ re menſurata, menſuratio trianguli ſic perficitur; ducta perpendiculari A D.
quæ baſim bifariam ſecat, dimidium baſis, quod eſt 3. ducitur in perpendiculum A D. quod eſt 4. vnde pro-
ducuntur 12. ideſt, 12. quadrata æqualia, quorum latera ſunt lineolæ æquales prædictæ, hac autem 12. qua-
drata conſtituunt aream trianguli, & proinde ipſius magnitudinem produnt. quod manifeſtius ſit, ſi com-
pleatur rectangulum A D B E. id enim erit æquale toti triangulo A B C. vt figuram contemplanti patere
poteſt; & ex 42. primi Elem. Euclidis. Continet autem hoc rectangulum 12. parua quadrata, quæ eſt area
trianguli, vt dictum eſt. Quadratum autem continet 16. quadrata æqualia prædictis: quare ipſius area ma-
ior eſt area trianguli; quoniam quamuis illi ſit Iſoperimetrum magis tamen ad rotũditatem accedit, ideſt,
anguli ipſius magis dilatantur, ac proinde euadit capacius, ac maius. Circuli menſuratio ſic abſoluitur à
Geometris; ducunt ſemidiametrum in ſemicircumferentiam, & quod producitur eſt circuli area, ſeu
nas figuras æqualibus planis, videlicet æqualibus quadratis menſurant, quia, vel teſte Ariſtotele, menſura
debet eſſe eiuſdem generis cũ re menſurata, menſuratio trianguli ſic perficitur; ducta perpendiculari A D.
quæ baſim bifariam ſecat, dimidium baſis, quod eſt 3. ducitur in perpendiculum A D. quod eſt 4. vnde pro-
ducuntur 12. ideſt, 12. quadrata æqualia, quorum latera ſunt lineolæ æquales prædictæ, hac autem 12. qua-
drata conſtituunt aream trianguli, & proinde ipſius magnitudinem produnt. quod manifeſtius ſit, ſi com-
pleatur rectangulum A D B E. id enim erit æquale toti triangulo A B C. vt figuram contemplanti patere
poteſt; & ex 42. primi Elem. Euclidis. Continet autem hoc rectangulum 12. parua quadrata, quæ eſt area
trianguli, vt dictum eſt. Quadratum autem continet 16. quadrata æqualia prædictis: quare ipſius area ma-
ior eſt area trianguli; quoniam quamuis illi ſit Iſoperimetrum magis tamen ad rotũditatem accedit, ideſt,
anguli ipſius magis dilatantur, ac proinde euadit capacius, ac maius. Circuli menſuratio ſic abſoluitur à
Geometris; ducunt ſemidiametrum in ſemicircumferentiam, & quod producitur eſt circuli area, ſeu