856b
ἓξ ποδῶν καὶ μικρῷ μείζω πλευράν, τὴν δὲ τριῶν; καὶ
διὰ τί ἐντείνουσιν οὐ κατὰ διάμετρον; ἢ τὸ μὲν μέγεθος τηλικαύτας,
ὅπως τοῖς σώμασιν ὦσι σύμμετροι; γίνονται
γὰρ οὕτω διπλασιόπλευροι, τετραπήχεις μὲν τὸ μῆκος, διπήχεις
δὲ τὸ πλάτος.ἐντείνουσι δὲ οὐ κατὰ διάμετρον ἀλλ'
ἀπ' ἐναντίας, ὅπως τά τε ξύλα ἧττον διασπᾶται· τάχιστα
γὰρ σχίζεται κατὰ φύσιν διαιρούμενα ταύτῃ, καὶ ἑλκόμενα
πονεῖ μάλιστα.ἔτι ἐπειδὴ δεῖ βάρος δύνασθαι τὰ
σπαρτία φέρειν, οὕτως ἧττον πονέσει λοξοῖς τοῖς σπαρτίοις
ἐπιτιθεμένου τοῦ βάρους ἢ πλαγίοις.ἔτι δὲ ἔλαττον οὕτω
σπαρτίον ἀναλίσκεται.ἔστω γὰρ κλίνη ἡ ΑΖΗΙ, καὶ δίχα
διῃρήσθω ἡ ΖΗ κατὰ τὸ Β. ἴσα δὴ τρυπήματά ἐστιν
ἐν τῇ ΖΒ καὶ ἐν τῇ ΖΑ. καὶ γὰρ αἱ πλευραὶ ἴσαι εἰσίν·
ἡ γὰρ ὅλη ΖΗ διπλασία ἐστίν.ἐντείνουσι δ' ὡς γέγραπται,
ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β, εἶτα οὗ τὸ Γ, εἶτα οὗ τὸ Δ, εἶτα οὗ
τὸ Θ, εἶτα οὗ τὸ Ε. καὶ οὕτως ἀεί, ἕως ἂν εἰς γωνίαν
καταστρέψωσιν ἄλλην·
21[Figure 21]δύο γὰρ ἔχουσι γωνίαι τὰς ἀρχὰς
τοῦ σπαρτίου.ἴσα δέ ἐστι τὰ σπαρτία κατὰ τὰς κάμψεις,
τό τε ΑΒ καὶ ΒΓ τῷ ΓΔ καὶ ΔΘ. καὶ τὰ ἄλλα δὲ
τὰ τοιαῦτά ἐστιν, ὅτι οὕτως ἔχει ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις.ἡ μὲν
γὰρ ΑΒ τῇ ΕΘ ἴση· ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ πλευραὶ τοῦ ΒΗΚ
Α χωρίου, καὶ τὰ τρυπήματα ἴσα διέστηκεν.ἡ δὲ ΒΗ ἴση
τῇ ΚΑ· ἡ γὰρ Β γωνία ἴση τῇ Η. ἐν ἴσοις γὰρ ἡ μὲν
ἐκτός, ἡ δὲ ἐντός· καὶ ἡ μὲν Β ἐστὶν ἡμίσεια ὀρθῆς· ἡ
γὰρ ΖΒ ἴση τῇ ΖΑ· καὶ γωνία δὲ ἡ κατὰ τὸ Ζ ὀρθή.ἡ
δὲ Β γωνία ἴση τῇ κατὰ τὸ Η· ἡ γὰρ κατὰ τὸ Ζ ὀρθή,
ἐπειδὴ διπλασιόπλευρον τὸ ἑτερόμηκες καὶ πρὸς μέσον κέκλασται.
ὥστε ἡ ΑΓ τῇ ΕΗ ἴση. ταύτῃ δὲ ἡ ΚΘ· παράλληλος
γάρ. ὥστε ἡ ΒΓ ἴση τῇ ΚΘ. ἡ δὲ ΓΕ τῇ ΔΘ.
ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ἄλλαι δείκνυνται ὅτι ἴσαι εἰσὶν αἱ κατὰ
τὰς κάμψεις δύο ταῖς δυσίν.ὥστε δῆλον ὅτι τὰ τηλικαῦτα
σπαρτία ὅσον τὸ ΑΒ, τέσσαρα τοσαῦτ' ἔνεστιν ἐν τῇ κλίνῃ·
ὅσον δ' ἐστὶ τὸ πλῆθος τῶν ἐν τῇ ΖΗ πλευρᾷ τρυπημάτων,
καὶ ἐν τῷ ἡμίσει τῷ ΖΒ τὰ ἡμίση.ὥστε ἐν τῇ ἡμισείᾳ
κλίνῃ τηλικαῦτα μεγέθη σπαρτίων ἐστὶν ὅσον τῷ ΒΑ ἔνεστι,
τοσαῦτα δὲ τὸ πλῆθος ὅσαπερ ἐν τῷ ΒΗ τρυπήματα.
ταῦτα δὲ οὐδὲν διαφέρει λέγειν ἢ ὅσα ἐν τῇ ΑΖ καὶ ΒΖ
τὰ συνάμφω.
22[Figure 22]εἰ δὲ κατὰ διάμετρον ἐνταθῇ τὰ σπαρτία,
ὡς ἐν τῇ ΑΒΓΔ κλίνῃ ἔχει, τὰ ἡμίσεά εἰσιν οὐ τοσαῦτα
ἓξ ποδῶν καὶ μικρῷ μείζω πλευράν, τὴν δὲ τριῶν; καὶ
διὰ τί ἐντείνουσιν οὐ κατὰ διάμετρον; ἢ τὸ μὲν μέγεθος τηλικαύτας,
ὅπως τοῖς σώμασιν ὦσι σύμμετροι; γίνονται
γὰρ οὕτω διπλασιόπλευροι, τετραπήχεις μὲν τὸ μῆκος, διπήχεις
δὲ τὸ πλάτος.ἐντείνουσι δὲ οὐ κατὰ διάμετρον ἀλλ'
ἀπ' ἐναντίας, ὅπως τά τε ξύλα ἧττον διασπᾶται· τάχιστα
γὰρ σχίζεται κατὰ φύσιν διαιρούμενα ταύτῃ, καὶ ἑλκόμενα
πονεῖ μάλιστα.ἔτι ἐπειδὴ δεῖ βάρος δύνασθαι τὰ
σπαρτία φέρειν, οὕτως ἧττον πονέσει λοξοῖς τοῖς σπαρτίοις
ἐπιτιθεμένου τοῦ βάρους ἢ πλαγίοις.ἔτι δὲ ἔλαττον οὕτω
σπαρτίον ἀναλίσκεται.ἔστω γὰρ κλίνη ἡ ΑΖΗΙ, καὶ δίχα
διῃρήσθω ἡ ΖΗ κατὰ τὸ Β. ἴσα δὴ τρυπήματά ἐστιν
ἐν τῇ ΖΒ καὶ ἐν τῇ ΖΑ. καὶ γὰρ αἱ πλευραὶ ἴσαι εἰσίν·
ἡ γὰρ ὅλη ΖΗ διπλασία ἐστίν.ἐντείνουσι δ' ὡς γέγραπται,
ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β, εἶτα οὗ τὸ Γ, εἶτα οὗ τὸ Δ, εἶτα οὗ
τὸ Θ, εἶτα οὗ τὸ Ε. καὶ οὕτως ἀεί, ἕως ἂν εἰς γωνίαν
καταστρέψωσιν ἄλλην·
21[Figure 21]δύο γὰρ ἔχουσι γωνίαι τὰς ἀρχὰς τοῦ σπαρτίου.ἴσα δέ ἐστι τὰ σπαρτία κατὰ τὰς κάμψεις,
τό τε ΑΒ καὶ ΒΓ τῷ ΓΔ καὶ ΔΘ. καὶ τὰ ἄλλα δὲ
τὰ τοιαῦτά ἐστιν, ὅτι οὕτως ἔχει ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις.ἡ μὲν
γὰρ ΑΒ τῇ ΕΘ ἴση· ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ πλευραὶ τοῦ ΒΗΚ
Α χωρίου, καὶ τὰ τρυπήματα ἴσα διέστηκεν.ἡ δὲ ΒΗ ἴση
τῇ ΚΑ· ἡ γὰρ Β γωνία ἴση τῇ Η. ἐν ἴσοις γὰρ ἡ μὲν
ἐκτός, ἡ δὲ ἐντός· καὶ ἡ μὲν Β ἐστὶν ἡμίσεια ὀρθῆς· ἡ
γὰρ ΖΒ ἴση τῇ ΖΑ· καὶ γωνία δὲ ἡ κατὰ τὸ Ζ ὀρθή.ἡ
δὲ Β γωνία ἴση τῇ κατὰ τὸ Η· ἡ γὰρ κατὰ τὸ Ζ ὀρθή,
ἐπειδὴ διπλασιόπλευρον τὸ ἑτερόμηκες καὶ πρὸς μέσον κέκλασται.
ὥστε ἡ ΑΓ τῇ ΕΗ ἴση. ταύτῃ δὲ ἡ ΚΘ· παράλληλος
γάρ. ὥστε ἡ ΒΓ ἴση τῇ ΚΘ. ἡ δὲ ΓΕ τῇ ΔΘ.
ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ἄλλαι δείκνυνται ὅτι ἴσαι εἰσὶν αἱ κατὰ
τὰς κάμψεις δύο ταῖς δυσίν.ὥστε δῆλον ὅτι τὰ τηλικαῦτα
σπαρτία ὅσον τὸ ΑΒ, τέσσαρα τοσαῦτ' ἔνεστιν ἐν τῇ κλίνῃ·
ὅσον δ' ἐστὶ τὸ πλῆθος τῶν ἐν τῇ ΖΗ πλευρᾷ τρυπημάτων,
καὶ ἐν τῷ ἡμίσει τῷ ΖΒ τὰ ἡμίση.ὥστε ἐν τῇ ἡμισείᾳ
κλίνῃ τηλικαῦτα μεγέθη σπαρτίων ἐστὶν ὅσον τῷ ΒΑ ἔνεστι,
τοσαῦτα δὲ τὸ πλῆθος ὅσαπερ ἐν τῷ ΒΗ τρυπήματα.
ταῦτα δὲ οὐδὲν διαφέρει λέγειν ἢ ὅσα ἐν τῇ ΑΖ καὶ ΒΖ
τὰ συνάμφω.
22[Figure 22]εἰ δὲ κατὰ διάμετρον ἐνταθῇ τὰ σπαρτία, ὡς ἐν τῇ ΑΒΓΔ κλίνῃ ἔχει, τὰ ἡμίσεά εἰσιν οὐ τοσαῦτα