5232GNOMONICES
QI, quàm rectangulum ſub I R, R F, ad candem I F, applicatum, cxcedens{q́ue} quadrato
ex R F, æquale eſſe quadrato ex A C, hoceſt, quartæ partirectanguli ſub F I, F O. De-
ſcripto enim ex D I, quadrato D E, ducatur per Q, ipſi I E, parallela P N, occurrensrectæ
G E, productæ in P, & diametro G I, productæ in N, perficiatur{q́ue} figura, vt vides. Quo-
niam igitur pallelogramma D E, M P, N I, circa eandem diametrum exiſtentia ſimilia
1124. ſexti. ſunt, eſt{q́ue} D E, quadratum; erunt quo-
2247. primi.
35[Figure 35]
que M P, N I, quadrata.
Et quoniam
quadratum ex H L, æquale eſt quadratis
ex H K, K L; eſt autem recta H L, rectæ
3310 D Q, ſeu M N, & recta H K, rectæ AC,
& recta K L, rectæ D I, æqualis, ex con-
ſtructione; Erit quoque quadratũ M P,
ex D Q, ſeu M N, deſoriptum, æquale
quadrato D E, ex D I, deſcripto, vnà cũ
quadrato ex A C. Quare ablato commu-
ni quadrato D E, erit@ reliqu{us} gnomon
D N E, æqualis reliquo quadrato ex AC.
4420 Cum ergo gnomon D N E, æqualis ſit re-
ctangulo F N, (Nam cum F M, ipſi M I,
5536. primi. hoc eſt, ipſi I P, æquale ſit, addito communi M Q, æquale erit F N, gnomoni D N E,) eris
6643. primi. quoque rectangulum F N, contcntum ſuh F Q, Q I, (quòdrecta Q I, rectæ Q N, æqua-
lis ſit, ob quadratum I N, %%%% æquale quadrato ex A C, hoc eſt, quartæ parti quadrati ex AB,
hoc eſt, rectanguli ſub F I, F O, comprehenſi. Applicatum eſt ergo ad F I, diametrũ tranſ-
uerſam rectangulum ſub F Q, Q I, æquale quartæ parti rectanguli ſub F I, F O, exce-
dens quadrato rectæ Q I. Eodem modo demonſtr abitur rectangulum ſub I R, R F, ap-
plicatum ad F I, excedens{q́ue} quadrato ex R F, æquale eſſe quartæ parti rectanguli ſub F I,
7730 F O. Quod est propoſitum.
ex R F, æquale eſſe quadrato ex A C, hoceſt, quartæ partirectanguli ſub F I, F O. De-
ſcripto enim ex D I, quadrato D E, ducatur per Q, ipſi I E, parallela P N, occurrensrectæ
G E, productæ in P, & diametro G I, productæ in N, perficiatur{q́ue} figura, vt vides. Quo-
niam igitur pallelogramma D E, M P, N I, circa eandem diametrum exiſtentia ſimilia
1124. ſexti. ſunt, eſt{q́ue} D E, quadratum; erunt quo-
2247. primi.
quadratum ex H L, æquale eſt quadratis
ex H K, K L; eſt autem recta H L, rectæ
3310 D Q, ſeu M N, & recta H K, rectæ AC,
& recta K L, rectæ D I, æqualis, ex con-
ſtructione; Erit quoque quadratũ M P,
ex D Q, ſeu M N, deſoriptum, æquale
quadrato D E, ex D I, deſcripto, vnà cũ
quadrato ex A C. Quare ablato commu-
ni quadrato D E, erit@ reliqu{us} gnomon
D N E, æqualis reliquo quadrato ex AC.
4420 Cum ergo gnomon D N E, æqualis ſit re-
ctangulo F N, (Nam cum F M, ipſi M I,
5536. primi. hoc eſt, ipſi I P, æquale ſit, addito communi M Q, æquale erit F N, gnomoni D N E,) eris
6643. primi. quoque rectangulum F N, contcntum ſuh F Q, Q I, (quòdrecta Q I, rectæ Q N, æqua-
lis ſit, ob quadratum I N, %%%% æquale quadrato ex A C, hoc eſt, quartæ parti quadrati ex AB,
hoc eſt, rectanguli ſub F I, F O, comprehenſi. Applicatum eſt ergo ad F I, diametrũ tranſ-
uerſam rectangulum ſub F Q, Q I, æquale quartæ parti rectanguli ſub F I, F O, exce-
dens quadrato rectæ Q I. Eodem modo demonſtr abitur rectangulum ſub I R, R F, ap-
plicatum ad F I, excedens{q́ue} quadrato ex R F, æquale eſſe quartæ parti rectanguli ſub F I,
7730 F O. Quod est propoſitum.
HIS præmiſſis, ſit F I, axis tranſuerſus duarum hyperbolarum oppoſitarum F G H, I K L, vt in
88Alia deſcriptio
hyperbolarum
oppoſitarum@in
plano. figur a primi lemmatis, & latus rectum F O, datum ex eodem primo lemmate, applicetur per ſecun-
dum lemma ad F I, ex vtraque parte rectangulum ſub F Q, Q I, & I R, R F, quartæ parti rectanguli
ſub F I, F O, æquale, excedens{q́ue} quadrato ex I Q, & F R, & infra R, ſumantur vtcunque puncta
quotlibet A, B, C, D. Deinde ad interuallum I A, deſcribantur ex punctis Q, & R, quatuor arcus,
quos inpuncto E, ſecent alij quatuor arcus ex eiſdem punctis Q, & R, ad interuallum F A, deſcripti.
Item ex eiſdem punctis Q, & R, ad interuallum I B, quatuor arcus deſcribantur, quos in puncto G, in-
terſecent alij quatuor ex eiſdem punctis Q, & R, deſcripti ad interuallum F B. Eodem modo ad inter-
9940 ualla I C, F C, ex punctis Q, & R, arcus deſcripti ſe mutuo ſecent in H, & ſic de cæteris punctis, ſi
quaſint; obſeruando ſemper, vt bini maiores arcus ex ſingulis quatuor, qui ex Q, & R, deſcribendi
ſunt, deſcribantur ex Q, vltra punctum F, & bini ex R, vltra punctum I, bini autem minores ex Q,
citra punctum I, & bini ex R, citra punctum F. Nam per puncta F, E, G, H, & I, E, G, H, oppoſitæ
hyperbolæ deſcribendæ erunt. Quoniam enim recta Q E, hoc est, I A, ſuperat rectam E R, hoc eſt,
F A, diametro tranſuerſa F I; Item recta Q G, rectam G R, eadem diametro ſuperat, & ſic de cæ-
teris, tranſibunt hyperbolæ oppoſitæ, quarum axis F I, & vertices F, I, per puncta E, G, H, quan-
doquidem, vt vult propoſitio 51. lib. 3. Apollonij, ſi lineæ rectæ ex punctis Q, R, ad vnum idem{q́ue} pun-
ctum Hyperboles inclinentur, maior minorcm ſuperat ipſo axe F I. Si enim hyperbole, cuius axis F I,
& vertex F, non tranſit per punctum E, tranſeat, ſi fieri poteſt, per K, ſecans rectam Q E, in K, ſiue in-
101050 fra E, ſiue ſupra; coniungstur{q́ue} recta R K. Quoniam igitur Hyperbole tranſit per K, ſuperabit recta
Q K, rectam K R, axe F I, per propoſ. 51. lib. 3. Apollonij: Sed eodem axe F I, ſuperat ex conſtructio-
ne recta Q E, rectam E R. Idem ergo eſt exceſſus inter rectas Q K, K R, qui inter rectas Q E, E R.
Quare permutando, ex lemmate propoſ. 79. lib. 10. Euclidis, idem exccſſus erit inter rectas Q K, Q E,
qui inter rectas K R, E R. Cum ergo exceſſus inter Q K, & Q E: , ſit recta E K, erit quoque eadem re-
cta E K, exceſſus inter K R, & E R. Quare recta E K, addita minori@earum, fiet aggregatum exhis
duabus reliquæ æquale, ac proinde duo later a trianguli E K R, reliquo lateri æqualia erunt, ſed & maio-
111120. primi. ra ſunt. Quod eſt abſurdum. Non ergo dicta Hyperbole per punctum K, ſed per E, tranſibit. Eodem{q́ue}
pacto oſtendemus eandem per reliqua puncta G, H, & c. tranſire, quod est propoſitum.
88Alia deſcriptio
hyperbolarum
oppoſitarum@in
plano. figur a primi lemmatis, & latus rectum F O, datum ex eodem primo lemmate, applicetur per ſecun-
dum lemma ad F I, ex vtraque parte rectangulum ſub F Q, Q I, & I R, R F, quartæ parti rectanguli
ſub F I, F O, æquale, excedens{q́ue} quadrato ex I Q, & F R, & infra R, ſumantur vtcunque puncta
quotlibet A, B, C, D. Deinde ad interuallum I A, deſcribantur ex punctis Q, & R, quatuor arcus,
quos inpuncto E, ſecent alij quatuor arcus ex eiſdem punctis Q, & R, ad interuallum F A, deſcripti.
Item ex eiſdem punctis Q, & R, ad interuallum I B, quatuor arcus deſcribantur, quos in puncto G, in-
terſecent alij quatuor ex eiſdem punctis Q, & R, deſcripti ad interuallum F B. Eodem modo ad inter-
9940 ualla I C, F C, ex punctis Q, & R, arcus deſcripti ſe mutuo ſecent in H, & ſic de cæteris punctis, ſi
quaſint; obſeruando ſemper, vt bini maiores arcus ex ſingulis quatuor, qui ex Q, & R, deſcribendi
ſunt, deſcribantur ex Q, vltra punctum F, & bini ex R, vltra punctum I, bini autem minores ex Q,
citra punctum I, & bini ex R, citra punctum F. Nam per puncta F, E, G, H, & I, E, G, H, oppoſitæ
hyperbolæ deſcribendæ erunt. Quoniam enim recta Q E, hoc est, I A, ſuperat rectam E R, hoc eſt,
F A, diametro tranſuerſa F I; Item recta Q G, rectam G R, eadem diametro ſuperat, & ſic de cæ-
teris, tranſibunt hyperbolæ oppoſitæ, quarum axis F I, & vertices F, I, per puncta E, G, H, quan-
doquidem, vt vult propoſitio 51. lib. 3. Apollonij, ſi lineæ rectæ ex punctis Q, R, ad vnum idem{q́ue} pun-
ctum Hyperboles inclinentur, maior minorcm ſuperat ipſo axe F I. Si enim hyperbole, cuius axis F I,
& vertex F, non tranſit per punctum E, tranſeat, ſi fieri poteſt, per K, ſecans rectam Q E, in K, ſiue in-
101050 fra E, ſiue ſupra; coniungstur{q́ue} recta R K. Quoniam igitur Hyperbole tranſit per K, ſuperabit recta
Q K, rectam K R, axe F I, per propoſ. 51. lib. 3. Apollonij: Sed eodem axe F I, ſuperat ex conſtructio-
ne recta Q E, rectam E R. Idem ergo eſt exceſſus inter rectas Q K, K R, qui inter rectas Q E, E R.
Quare permutando, ex lemmate propoſ. 79. lib. 10. Euclidis, idem exccſſus erit inter rectas Q K, Q E,
qui inter rectas K R, E R. Cum ergo exceſſus inter Q K, & Q E: , ſit recta E K, erit quoque eadem re-
cta E K, exceſſus inter K R, & E R. Quare recta E K, addita minori@earum, fiet aggregatum exhis
duabus reliquæ æquale, ac proinde duo later a trianguli E K R, reliquo lateri æqualia erunt, ſed & maio-
111120. primi. ra ſunt. Quod eſt abſurdum. Non ergo dicta Hyperbole per punctum K, ſed per E, tranſibit. Eodem{q́ue}
pacto oſtendemus eandem per reliqua puncta G, H, & c. tranſire, quod est propoſitum.