5535LIBER PRIMVS.
in ſecunda, triplam intertia, &
quadruplam in quarta, &
c.
Per extremitates enim harum linearum
parabole deſcribenda erit.
parabole deſcribenda erit.
PRO Hyperbolis verò ſumemus axem quemcunque F I, vt in antecedentibus hyperbolis, cui ex
11Qua ratione
duæ hyperbolæ
oppoſitæ qua-
leſcunque de-
ſcribantur in
plano. vtraque parte addemus rectas vtcunque F R, I Q, inter ſe æquales, & intelligemus ad axem F I, ap-
plicatum eſſe rectangulum ſub F Q, Q I, æquale quartæ parti rectanguli ſub axe F I, & recto latere
comprehenſi, excedens{q́ue}, quadrato ex Q I, & c.
11Qua ratione
duæ hyperbolæ
oppoſitæ qua-
leſcunque de-
ſcribantur in
plano. vtraque parte addemus rectas vtcunque F R, I Q, inter ſe æquales, & intelligemus ad axem F I, ap-
plicatum eſſe rectangulum ſub F Q, Q I, æquale quartæ parti rectanguli ſub axe F I, & recto latere
comprehenſi, excedens{q́ue}, quadrato ex Q I, & c.
PRO Ellipſi denique accipiemus axem E F, ad libitum, vt in proxima ellipſi, ex quo abſcindemus
22Qua ratione El
lipſis qualiſcun
que in plano de
ſcribatur. æquales hinc inde vtcunque E O, F N, intelligem{us}{q́ue} ad axem E F, applicatum eſſe rectangulum ſub
F O, O E, æquale quartæ parti rectanguli ſub axe E F, & latere recto contenti, deficiens{q́ue} quadrato ex
E O; & c. Reliqua autem perficiemus vt prius.
331022Qua ratione El
lipſis qualiſcun
que in plano de
ſcribatur. æquales hinc inde vtcunque E O, F N, intelligem{us}{q́ue} ad axem E F, applicatum eſſe rectangulum ſub
F O, O E, æquale quartæ parti rectanguli ſub axe E F, & latere recto contenti, deficiens{q́ue} quadrato ex
E O; & c. Reliqua autem perficiemus vt prius.
IMMO verò ſi in recta aliqua quantumuis protracta E F, nempe in eodem axe ellipſis, in duobus
44Quo pacto El-
lipſis qualiſcun
que filo aliquo
deſctibatur in
plano. punctis, vt in N, & O, duo clauiculi infigantur, quibus filum circumponatur, ita vt duplicatum exce-
dat rectam N O, & liberè poſſit circumuolui, deſcribetur Ellipſis facilè, & expedite, ſi ſtylum aliquem
huic filo imponamus, eum{q́ue} circunducamus vnà cumfilo, extendentes ſemper filum, quantum fieri poteſt.
Vt ſi filum circa clauiculos N, O, extendatur vſque ad I, quantum poteſt, ſi ſtylus aliquis ferreus in I,
ponatur, & manentefilo ſemper ita extenſo circunducatur, donec eo reuertatur, vnde moueri incepit, de-
ſcripta erit Ellipſis E G F; Nam hac ratione erunt ſemper duæ rectæ ex N, & O, vſque ad ſtylum cir-
cumductum ęquales axi E F, quem idem ſtylus circumductus ſecat in E, & F. Id quod longè facilius re
ipſa, & vſu percipi poteſt, quàm multis verbis doceri.
44Quo pacto El-
lipſis qualiſcun
que filo aliquo
deſctibatur in
plano. punctis, vt in N, & O, duo clauiculi infigantur, quibus filum circumponatur, ita vt duplicatum exce-
dat rectam N O, & liberè poſſit circumuolui, deſcribetur Ellipſis facilè, & expedite, ſi ſtylum aliquem
huic filo imponamus, eum{q́ue} circunducamus vnà cumfilo, extendentes ſemper filum, quantum fieri poteſt.
Vt ſi filum circa clauiculos N, O, extendatur vſque ad I, quantum poteſt, ſi ſtylus aliquis ferreus in I,
ponatur, & manentefilo ſemper ita extenſo circunducatur, donec eo reuertatur, vnde moueri incepit, de-
ſcripta erit Ellipſis E G F; Nam hac ratione erunt ſemper duæ rectæ ex N, & O, vſque ad ſtylum cir-
cumductum ęquales axi E F, quem idem ſtylus circumductus ſecat in E, & F. Id quod longè facilius re
ipſa, & vſu percipi poteſt, quàm multis verbis doceri.
SED quoniam deſcriptio hæc Ellipſis per filum circa clauiculos accommodatum &
per ſe ipſa iucun-
5520 daeſt, & ad multa vtilis, li-
39[Figure 39]
bet paulo vberius eam hoc
66Qua ratione
Ellipſis deſcri-
batur per filũ,
ſecundum lon-
gitudinem & la
titudinem da-
tam. loco explicare. Primum igi-
tur, ſi datus ſit vterque axis
Ellipſis, nempe A B, maior,
et C D, minor, ita vt Ellipſis
deſcribenda longitudinẽ ha-
beat A B, latitudinem ve-
rò C D, inueniemus puncta
in maiore axe, in quibus fi-
7730 gendi ſunt clauiculi, & lon
gitudinem fili circa clauicu-
los circumducendi, hac ra-
tione. Diuiſo maiore axe
A B, bifariam in E, duca-
tur per E, ad A B, perpen-
dicularis C D, ſit{q́ue} tam E C,
quàm E D, dimidio minoris
axis æqualis, ita vt C D, to-
ti axi minori ſit æqualis.
8840 Deinde centro C, vel D, &
interuallo E A, vel E B, duo
arcus circuli deſcribantur
ſecantes rectam A B, in F,
& G, punctis, quæomnino
9950 citra puncta A, & B, erunt.
Quoniam enim recta C A,
101019. primi. maior eſt, quàm A E, ob
angulum rectum A E C, fit, vt arcus ex C, ad interuallum A E, deſcriptus ſecet ipſam C A, atque adeò
1111Loca clauiculo-
rum, & longitu
do fili pro Elli-
pſi deſctibẽda.& ipſam A E, citra punctum A, & c. Dico in punctis F, G, clauiculos eſſe figendos, vt propoſita Elli-
pſis deſcribatur, filum autem circa F, G, poſitum duplicandũ eſſe, ita vt extenſum pertingat præcisè ad
punctũ A, vel ad punctũ D, aut B, totum{q́ue} filum ſit D F G D, hac lege clauiculis in F, & G, affixis cir-
cũpoſitum, vt liberè circa ipſos poſſit circũduci vnà cum ſtylo, adeò vt neque à clauiculis, neque à filo ſty-
lus impediatur, quo minus circumduci queat, vt integram ellipſim deſcribat. Cum enim portiones G A,
F A, fili duplicati (relicta portione F G, inter clauiculos poſita) æquales ſint maiori axi A B, quòd A F,
ipſi B G, æqualis ſit, atq; eodẽ modo reliquæ portiones, circũducto filo circa pũcta F, G, eidẽ aximaiori ſint
æquales, propterea quòd filum neq; augetur, neque diminuitur in illa circũductione, manet{q́ue} eadẽ ſemper
portio communis F G, (Ita enim vides, exempli gratia, cum extremũ duplicati fili in D, collocatũ fuerit,
portiones D F, D G, toti axi A B, æquales eſſe, propterea quod ipſis A E, B E, ſumptæ ſunt æquales, & c.)
perſpicuum eſt, ex propoſ. 52. lib. 3. Apollonij, beneficio illius fili deſcribi Ellipſim, cuius maior axis
A B, & minor C D: quandoquidem lineæ rectæ ex punctis F, & G, inclinatæ ad quodcunque
5520 daeſt, & ad multa vtilis, li-
66Qua ratione
Ellipſis deſcri-
batur per filũ,
ſecundum lon-
gitudinem & la
titudinem da-
tam. loco explicare. Primum igi-
tur, ſi datus ſit vterque axis
Ellipſis, nempe A B, maior,
et C D, minor, ita vt Ellipſis
deſcribenda longitudinẽ ha-
beat A B, latitudinem ve-
rò C D, inueniemus puncta
in maiore axe, in quibus fi-
7730 gendi ſunt clauiculi, & lon
gitudinem fili circa clauicu-
los circumducendi, hac ra-
tione. Diuiſo maiore axe
A B, bifariam in E, duca-
tur per E, ad A B, perpen-
dicularis C D, ſit{q́ue} tam E C,
quàm E D, dimidio minoris
axis æqualis, ita vt C D, to-
ti axi minori ſit æqualis.
8840 Deinde centro C, vel D, &
interuallo E A, vel E B, duo
arcus circuli deſcribantur
ſecantes rectam A B, in F,
& G, punctis, quæomnino
9950 citra puncta A, & B, erunt.
Quoniam enim recta C A,
101019. primi. maior eſt, quàm A E, ob
angulum rectum A E C, fit, vt arcus ex C, ad interuallum A E, deſcriptus ſecet ipſam C A, atque adeò
1111Loca clauiculo-
rum, & longitu
do fili pro Elli-
pſi deſctibẽda.& ipſam A E, citra punctum A, & c. Dico in punctis F, G, clauiculos eſſe figendos, vt propoſita Elli-
pſis deſcribatur, filum autem circa F, G, poſitum duplicandũ eſſe, ita vt extenſum pertingat præcisè ad
punctũ A, vel ad punctũ D, aut B, totum{q́ue} filum ſit D F G D, hac lege clauiculis in F, & G, affixis cir-
cũpoſitum, vt liberè circa ipſos poſſit circũduci vnà cum ſtylo, adeò vt neque à clauiculis, neque à filo ſty-
lus impediatur, quo minus circumduci queat, vt integram ellipſim deſcribat. Cum enim portiones G A,
F A, fili duplicati (relicta portione F G, inter clauiculos poſita) æquales ſint maiori axi A B, quòd A F,
ipſi B G, æqualis ſit, atq; eodẽ modo reliquæ portiones, circũducto filo circa pũcta F, G, eidẽ aximaiori ſint
æquales, propterea quòd filum neq; augetur, neque diminuitur in illa circũductione, manet{q́ue} eadẽ ſemper
portio communis F G, (Ita enim vides, exempli gratia, cum extremũ duplicati fili in D, collocatũ fuerit,
portiones D F, D G, toti axi A B, æquales eſſe, propterea quod ipſis A E, B E, ſumptæ ſunt æquales, & c.)
perſpicuum eſt, ex propoſ. 52. lib. 3. Apollonij, beneficio illius fili deſcribi Ellipſim, cuius maior axis
A B, & minor C D: quandoquidem lineæ rectæ ex punctis F, & G, inclinatæ ad quodcunque