1enim d f cum fiat ex a in duplum b c, dupla erit ſuperficiei a in b c, ſu
perficies f d, tota æquatur quadratis h & b c, igitur quadrata h & b
c dupla ſunt ſuperficiei a in b c, quod uerò fit ex a in duplum b c ſe
habet ad id quod fit ex h in duplum b c, ut a ad h, cum per eandem
lineam ducantur, igitur quod fit ex a in duplum b c, & ſunt quadra
ta h & b c, ſe habent ad duplum h in b c, ut a ad h, quod fuit de
monſtrandum.
perficies f d, tota æquatur quadratis h & b c, igitur quadrata h & b
c dupla ſunt ſuperficiei a in b c, quod uerò fit ex a in duplum b c ſe
habet ad id quod fit ex h in duplum b c, ut a ad h, cum per eandem
lineam ducantur, igitur quod fit ex a in duplum b c, & ſunt quadra
ta h & b c, ſe habent ad duplum h in b c, ut a ad h, quod fuit de
monſtrandum.
Com.
Propoſitio centeſima quinquageſima prima.
Proportio differentiæ quadratorum partium, cuiuſuis lineæ ad
quadratum differentiæ illarum eſt uelut totius lineę ad differentiam.
quadratum differentiæ illarum eſt uelut totius lineę ad differentiam.
Co^{m}.
Sit a b diuiſa in puncto c, & fiat c d æqualis
c b, manifeſtum eſt quod differentia partium
163[Figure 163]
eſt a d, dico proportionem differentiæ quadra
torum a c & c b ad quadratum a d differentiæ partium eſſe ut a b ad
c b, manifeſtum eſt quod differentia partium
163[Figure 163]eſt a d, dico proportionem differentiæ quadra
torum a c & c b ad quadratum a d differentiæ partium eſſe ut a b ad
a d. Quoniam differentia quadratorum a c & c b eſt, quod fit ex a d
in d c bis cum quadrato a d, & ideò quod fit ex a d in d b cum qua
drato a d, & ideò quod fit ex tota a b in a d. Igitur differentia qua
drato a c & c b eſt quod fit ex a b in a d, quare cum quadratum a d
fiat ex a d in a d, erit proportio a b ad a d, uelut differentiæ quadra
torum a c & b c ad quadratum a d differentiæ partium. Quod fuit
propoſitum.
Per 4. ſecun
di Elem.
di Elem.
Per 3. ſecun
di Elem.
di Elem.
Per 1. ſexti
Elem.
Elem.
Propoſitio centeſima quinquageſima ſecunda.
Si linea in duas partes æquales duas que in æquales diuidatur, fue
ritque proportio aggregati ex maiore & dimidio ad ipſam maiorem
uelut ex minore, & aliqua linea ad ipſam minorem, & rurſus aggre
gati ex minore dimidio ad ipſam minorem, uelut aggregati ex ma
iore & alia addita ad ipſam maiorem, erit proportio dimidij ad par
tem unam inæqualem, uelut alterius partis inæqualis ad ſuam ad
ditam mutuò, & etiam proportio additarum inuicem, uelut pro
portio partium inæqualium duplicata, & rurſus ipſum dimidium
lineæ aſſumptæ medium erit proportione inter additas. Demum
proportio dimidij cum ad dita maiore ad dimidium cum addita mi
nore, uelut maioris partis ad minorem.
ritque proportio aggregati ex maiore & dimidio ad ipſam maiorem
uelut ex minore, & aliqua linea ad ipſam minorem, & rurſus aggre
gati ex minore dimidio ad ipſam minorem, uelut aggregati ex ma
iore & alia addita ad ipſam maiorem, erit proportio dimidij ad par
tem unam inæqualem, uelut alterius partis inæqualis ad ſuam ad
ditam mutuò, & etiam proportio additarum inuicem, uelut pro
portio partium inæqualium duplicata, & rurſus ipſum dimidium
lineæ aſſumptæ medium erit proportione inter additas. Demum
proportio dimidij cum ad dita maiore ad dimidium cum addita mi
nore, uelut maioris partis ad minorem.
Co^{m}.
Sit propoſita a b diuiſa per
164[Figure 164]
æqualia in c per inæqualia in
d, & ſit ut addantur a g & b f,
ita ut proportio c a, & a d ad a d ſit ueluti f d ad d b, & c b & b d ad
b d, uelut g d ad d a, & hæc eſt quarta ſecundi Archimedis de ſphęra,
& Cylindro: quia ergo a c & a d ad a d, ut f d ad d b erit a c ad a d,
fb ad b d. Et ſimiliter quia eſt c b & b d ad b d, uelut g d ad d a erit
164[Figure 164]æqualia in c per inæqualia in
d, & ſit ut addantur a g & b f,
ita ut proportio c a, & a d ad a d ſit ueluti f d ad d b, & c b & b d ad
b d, uelut g d ad d a, & hæc eſt quarta ſecundi Archimedis de ſphęra,
& Cylindro: quia ergo a c & a d ad a d, ut f d ad d b erit a c ad a d,
fb ad b d. Et ſimiliter quia eſt c b & b d ad b d, uelut g d ad d a erit